Conception d’une semelle à charge excentrique biaxiale

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Table des matières

  • Exemple de conception d’une semelle à semelle biaxiale chargée excentriquement.
  • Approche de conception 1 (DA 1) – Combinaison 1.
  • Résistance portante.
  • Pression à la base du patin.
  • Approche de conception 1 (DA 1) – Combinaison 2
  • Résistance portante (Section 6.5.2)
  • Pression à la base du patin
  • Conception des fondations (EN1992-1-1:2004)
  • Détails concrets
  • Détails du renfort
  • Section rectangulaire en flexion (axe x)
  • Section rectangulaire en cisaillement (axe x)
  • Section rectangulaire en flexion (axe y)
  • Contrôle des fissures
  • Section rectangulaire en cisaillement (axe y)
  • Poinçonnage cisaillement
  • Périmètre de poinçonnement à la face du poteau
  • Périmètre de poinçonnement à 1d de la face du poteau
  • Périmètre de cisaillement de poinçonnement à 2d de la face du poteau

 

Une semelle biaxiale chargée excentriquement se produit lorsque la colonne transmettant la charge à la fondation est soumise à une force axiale de compression et à un moment de flexion dans les deux axes principaux. En raison de la flexion biaxiale, deux excentricités ex et ey de la charge axiale se produisent sur la semelle de fondation, entraînant ainsi une répartition non uniforme de la pression sur la fondation. Les effets d’une telle distribution de pression non uniforme doivent être pris en compte lors de la conception géotechnique et structurelle de la fondation du socle.

 

Lorsqu’un moment de flexion M et une force axiale N agissent sur une semelle de fondation, les pressions sont données par l’équation de la charge axiale plus la flexion. Cette condition est valable à condition qu’il y ait un contact positif entre la base du patin et le sol sur toute la longueur D de la semelle de telle sorte que ;

p = N/BD ± My/I

où I est l’aire du second moment de la base autour de l’axe de flexion et y est la distance entre l’axe et l’endroit où la pression est calculée.

En remplaçant I = BD3/12 et y = D/2, la pression maximale est ;

pmax = N/BD + 6M/BD2

et la pression minimale est ;

pmin = N/BD – 6M/BD2

Pour les semelles chargées biaxialement, cette pression doit être vérifiée dans les deux sens et la pression maximale ne doit pas dépasser la capacité portante admissible du sol. De plus, la conception des armatures doit également être effectuée dans les deux sens.

Exemple de conception d’une semelle à semelle biaxiale chargée excentriquement

Une semelle de fondation de 1500 x 1500 mm est soumise aux charges suivantes à partir d’une colonne carrée de 250 mm x 250 mm ;

Charge axiale de charge permanente ; FGz1 = 650,0 kN
Charge axiale variable ; FQz1 = 135,0 kN
Moment permanent en x ; MGx1 = 25,0 kNm
Moment permanent en y ; MGy1 = 21,0 kNm
Moment variable en x ; MQx1 = 13,0 kNm
Moment variable en y ; MQy1 = 11,0 kNm

La conception doit être effectuée conformément à la norme EN1997-1:2004 incorporant le corrigendum daté de février 2009 et l’annexe nationale du Royaume-Uni incorporant le corrigendum n° 1

Détails de la fondation du coussin

Longueur de la fondation ; Lx = 1500 mm
Largeur de fondation ; Ly = 1500 mm
Zone de fondation ; A = Lx × Ly = 2.250 m2
Profondeur de la fondation (épaisseur de la semelle); h = 500 mm
Profondeur du sol sur la fondation ; hsol = 600 mm
Niveau d’eau ; heau = 0 mm
Densité de l’eau; γeau = 9,8 kN/m3
Densité du béton ; γconc = 25,0 kN/m3

Détails de la colonne
Longueur de colonne ; lx1 = 250 mm
Largeur de colonne ; ly1 = 250 mm
position sur l’axe des x ; x1 = 750mm
position sur l’axe y ; y1 = 750mm

Élément de bibliothèque : sortie des détails de la colonne

Propriétés du sol
Densité du sol ; γsol = 18,0 kN/m3
Cohésion caractéristique; c’k = 15 kN/m2
Angle de résistance efficace au cisaillement caractéristique ; φ’k = 25 degrés
Angle de frottement caractéristique ; δk = 20 degrés

Charges de fondation
Surcharge permanente ; FGsur = 5,0 kN/m2
poids propre ; Fswt = h × γconc = 12,5 kN/m2
Poids du sol ; Fsol = hsol × γsol = 10,8 kN/m2

Charges de colonne
Charge permanente en z ; FGz1 = 650,0 kN
Charge variable en z ; FQz1 = 135,0 kN
Moment permanent en x ; MGx1 = 25,0 kNm
Moment permanent en y ; MGy1 = 21,0 kNm
Moment variable en x ; MQx1 = 13,0 kNm
Moment variable en y ; MQy1 = 11,0 kNm

Approche de conception 1 (DA 1) – Combinaison 1
Coefficients partiels sur les actions – Combinaison1
Ensemble de facteurs partiels ; A1
Action défavorable permanente – Tableau A.3 ; γG = 1,35
Action favorable permanente – Tableau A.3 ; γGf = 1,00
Action défavorable variable – Tableau A.3 ; γQ = 1,50
Action favorable variable – Tableau A.3 ; γQf = 0,00

Coefficients partiels pour les paramètres du sol – Combinaison1
Ensemble de facteurs de sol ; M1
Angle de résistance au cisaillement – ​​Tableau A.4 ; γφ’ = 1,00
Cohésion effective – Tableau A.4 ; γc’ = 1,00
Densité de poids – Tableau A.4 ; γg = 1,00

Coefficients partiels pour les fondations étalées – Combinaison1
Facteur de résistance défini ; R1
Roulement – ​​Tableau A.5 ; γR.v = 1,00
Glissement – ​​Tableau A.5 ; γR.h = 1.00

Résistance portante
Forces sur la fondation
Force dans l’axe z ; Fdz = γG × [A × (Fswt + Fsol + FGsur) + FGz1] + γQFQz1 = 1166,0 kN

Moments sur fondation
Moment sur l’axe des x ;
Mdx = γG × (A × (Fswt + Fsol + FGsur) × Lx/2 + FGz1x1) + γGMGx1 + γQFQz1x1 + γQMQx1 = 927,7 kNm

Moment sur l’axe y ;
Mdy = γG × (A × (Fswt + Fsol + FGsur) × Ly/2 + FGz1y1) + γGMGy1 + γQFQz1y1 + γQMQy1 = 919,3 kNm

Excentricité de la réaction de base

Excentricité de la réaction de base sur l’axe des x ;
ex = Mdx / Fdz – Lx / 2 = 46 mm

Excentricité de la réaction de base sur l’axe y ;
ey = Mdy / Fdz – Ly / 2 = 38 mm

Surface effective de la base

Longueur efficace ;
L’x = Lx – 2 × ex = 1409 mm

Largeur efficace ;
L’y = Ly – 2 × ey = 1423 mm

Zone efficace ;
A’ = L’x × L’y = 2,005 m2

Pression à la base du patin
Pression de base de conception ; fdz = Fdz / A’ = 581,6 kN/m2
Angle de conception de la résistance au cisaillement ; φ’d = tan-1(tan(φ’k) / γφ’) = 25.000 degrés
Concevoir une cohésion efficace ; c’d = c’k / γc’ = 15.000 kN/m2

Pression de mort-terrain efficace ;
q = (h + hsol) × γsol – heau × γeau = 19.800 kN/m2

Concevoir une pression de mort-terrain efficace ;
q’ = q / γg = 19.800 kN/m2

Facteurs de résistance des roulements ;
Nq = Exp(π × tan(φ’d)) × [tan(45 deg + φ’d / 2)]2 = 10,662
Nc = (Nq – 1) × cot(φ’d) = 20,721
Nγ = 2 × (Nq – 1) × tan(φ’d) = 9,011

Facteurs de forme de la fondation ;
sq = 1 + (L’x / L’y) × sin(φ’d) = 1,418
sγ = 1 – 0,3 × (L’x / L’y) = 0,703
sc = (carré × Nq – 1) / (Nq – 1) = 1,462

Facteurs d’inclinaison de la charge ;
H = 0,0 kN
ma = [2 + (L’y / L’x)] / [1 + (L’y / L’x)] = 1,497
mx = [2 + (L’x / L’y)] / [1 + (L’x / L’y)] = 1,503
m = mx = 1,503
iq = [1 – H / (Fdz + A’ × c’d × cot(φ’d))]m = 1,000
iγ = [1 – H / (Fdz + A’ × c’d × cot(φ’d))]m + 1 = 1,000
ic = iq – (1 – iq) / (Nc × tan(φ’d)) = 1,000

Capacité portante ultime;
nf = c’dNcscic + q’Nqsqiq + 0,5γsolL’xNγsγiγ = 834,0 kN/m2

 

Approche de conception 1 (DA 1) – Combinaison 2

Facteurs partiels sur les actions – Combinaison2
Ensemble de facteurs partiels ; A2
Action défavorable permanente – Tableau A.3 ; γG = 1,00
Action favorable permanente – Tableau A.3 ; γGf = 1,00
Action défavorable variable – Tableau A.3 ; γQ = 1,30
Action favorable variable – Tableau A.3 ; γQf = 0,00

Coefficients partiels pour les paramètres du sol – Combinaison2
Ensemble de facteurs de sol ; M2
Angle de résistance au cisaillement – ​​Tableau A.4 ; γφ’ = 1,25
Cohésion effective – Tableau A.4 ; γc’ = 1,25
Densité de poids – Tableau A.4 ; γg = 1,00

Coefficients partiels pour les fondations étalées – Combinaison2
Facteur de résistance défini ; R1
Roulement – ​​Tableau A.5 ; γR.v = 1,00
Glissement – ​​Tableau A.5 ; γR.h = 1.00

Résistance portante (Section 6.5.2)
Forces sur la fondation
Force dans l’axe z ;
Fdz = γG × (A × (Fswt + Fsol + FGsur) + FGz1) + γQFQz1 = 889,2 kN

Moments sur fondation

Moment sur l’axe des x ;
Mdx = γG × (A × (Fswt + Fsol + FGsur) × Lx/2 + FGz1 × x1) + γGMGx1 + γQFQz1x1 + γQMQx1 = 708,8 kNm

Moment sur l’axe y ;
Mdy = γG × (A × (Fswt + Fsol + FGsur) × Ly/2 + FGz1 × y1) + γGMGy1 + γQFQz1y1 + γQMQy1 = 702,2 kNm

Excentricité de la réaction de base

Excentricité de la réaction de base sur l’axe des x ;
ex = Mdx / Fdz – (Lx /2) = 47 mm

Excentricité de la réaction de base sur l’axe y ;
ey = Mdy / Fdz – (Ly/2) = 40 mm

Surface effective de la base

Longueur efficace ;
L’x = Lx – 2ex = 1406 mm

Zone efficace ;
A’ = L’x × L’y = 1,997 m2

Largeur efficace ;
L’y = Ly – 2ey = 1421 mm

Pression à la base du patin
Pression de base de conception ; fdz = Fdz / A’ = 445,3 kN/m2
Capacité portante ultime en conditions drainées (Annexe D.4)

Angle de conception de la résistance au cisaillement ;
φ’d = tan-1(tan(φ’k) / γf’) = 20,458 degrés

Concevoir une cohésion efficace ;
c’d = c’k / γc’ = 12.000 kN/m2

Pression de mort-terrain efficace ;
q = (h + hsol) × γsol – heau × γeau = 19.800 kN/m2

Concevoir une pression de mort-terrain efficace ;
q’ = q/γg = 19.800 kN/m2

Facteurs de résistance des roulements ;
Nq = Exp(π × tan(φ’d)) × (tan(45 deg + φ’d / 2))2 = 6,698
Nc = (Nq – 1) × cot(φ’d) = 15,273
Nγ = 2 × (Nq – 1) × tan(φ’d) = 4,251

Facteurs de forme de la fondation ;
sq = 1 + (L’x / L’y) × sin(φ’d) = 1,346
sγ = 1 – 0,3 × (L’x / L’y) = 0,703
sc = (carré × Nq – 1) / (Nq – 1) = 1,407

Facteurs d’inclinaison de la charge ;
H = 0,0 kN
ma = [2 + (L’y / L’x)] / [1 + (L’y / L’x)] = 1,497
mx = [2 + (L’x / L’y)] / [1 + (L’x / L’y)] = 1,503
m = mx = 1,503
iq = [1 – H / (Fdz + A’ × c’d × cot(φ’d))]m = 1,000
iγ = [1 – H / (Fdz + A’ × c’d × cot(φ’d))]m + 1 = 1,000
ic = iq – (1 – iq) / (Nc × tan(φ’d)) = 1,000

Capacité portante ultime;
nf = c’dNcscic + q’Nqsqiq + 0,5 γsolL’xNγ sg iγ = 474,1 kN/m2

Conception des fondations (EN1992-1-1:2004)
Conformément à EN1992-1-1:2004 incorporant le rectificatif de janvier 2008 et l’annexe nationale du Royaume-Uni incorporant l’amendement national n° 1

Détails concrets
Classe de résistance du béton ; C25/30
Résistance caractéristique du cylindre à la compression ; fck = 25 N/mm2
Résistance caractéristique du cube à la compression ; fck,cube = 30 N/mm2
Valeur moyenne de la résistance du cylindre à la compression ;fcm = fck + 8 N/mm2 = 33 N/mm2
Valeur moyenne de la résistance à la traction axiale ; fctm = 0,3 N/mm2 × (fck)2/3 = 2,6 N/mm2
Fractile de 5 % de la résistance à la traction axiale ; fctk,0,05 = 0,7 × fctm = 1,8 N/mm2
Module d’élasticité sécant du béton ; Ecm = 22 kN/mm2 × [fcm/10]0,3 = 31476 N/mm2

Coefficient partiel pour le béton (tableau 2.1N) ; γC = 1,50
Coefficient de résistance à la compression (cl.3.1.6(1)); acc = 0,85
Conception de la résistance à la compression du béton (exp.3.15) ; fcd = acc × (fck / γC) = 14,2 N/mm2
Coeff.de résistance décennale pour le béton ordinaire (cl.12.3.1(1)); act,pl = 0,80
Des.tens.forced pour le béton ordinaire (exp.12.1); fctd,pl = act,pl × (fctk,0.05 / γC) = 1.0 N/mm2

Taille maximale des agrégats ; hagg = 20 mm
Déformation ultime – Tableau 3.1 ; εcu2 = 0,0035
Contrainte de raccourcissement – Tableau 3.1 ; εcu3 = 0,0035
Facteur de hauteur de zone de compression efficace ; λ = 0,80
Facteur de résistance efficace ; h = 1,00
Coefficient de flexion k1 ; K1 = 0,40
Coefficient de flexion k2 ; K2 = 1,00 × (0,6 + 0,0014/εcu2) =1,00
Coefficient de flexion k3 ; K3 =0,40
Coefficient de flexion k4 ; K4 =1,00 × (0,6 + 0,0014/εcu2) = 1,00

Détails du renfort
Limite d’élasticité caractéristique du ferraillage ; fyk = 500 N/mm2
Module d’élasticité du renfort ; Es = 210000 N/mm2
Coefficient partiel pour l’acier d’armature (tableau 2.1N) ; γS = 1,15
Limite d’élasticité de conception des armatures ; fyd = fyk / γS = 435 N/mm2
Enrobage nominal à l’armature ; cnom = 50 mm

Section rectangulaire en flexion (axe x)
Moment de flexion de conception ; MEd.x.max = 160,7 kNm
Renforcement de la profondeur à la tension ; d = h – cnom – φx.bot / 2 = 444 mm
K = MEd.x.max / (Ly × d2 × fck) = 0,022
K’ = (2 × h × acc/γC) × (1 – λ(d – K1)/(2K2)) × (λ(d – K1)/(2K2))
K’ = 0,207

K’ > K – Aucune armature de compression n’est requise

Bras de levier ; z = min(0,5 + 0,5 × (1 – 2K / (h × acc /γc))0,5, 0,95) × d = 422 mm
Profondeur de l’axe neutre ; x = 2,5(d – z) = 55 mm

Zone de renforcement de tension requise ;
Asx.bot.req = MEd.x.max / (fydz) = 876 mm2

Renfort de tension fourni;
10Y12@155 c/c bas (Asx.bot.prov = 1131 mm2)

Aire minimale de ferraillage (exp.9.1N);
As.min = max(0,26 × fctm / fyk, 0,0013) × Ly × d = 888 mm2

Aire maximale d’armature (cl.9.2.1.1(3));
As.max = 0,04 × Ly × d = 26640 mm2

Section rectangulaire en cisaillement (axe x)
Force de cisaillement de conception ;
abs(VEd.x.min) = 162,8 kN
CRd,c = 0,18 /γC = 0,120
k = min(1 + √(200 mm / j), 2) = 1,680

Rapport de renforcement longitudinal ;
ρl = min(Asx.bot.prov / (Ly × d), 0,02) = 0,002
vmin = 0,035k3/2 × fck0,5 = 0,381 N/mm2

Résistance de conception au cisaillement (exp.6.2a & 6.2b);
VRd.c = max(CRd.c × k × (100 N2/mm4 × ρl × fck)1/3, vmin) × Ly × d
VRd.c = 247 kN

 

 

Section rectangulaire en flexion (axe y)
Moment de flexion de conception ;
MEd.y.max = 157,5 kNm
Renforcement de la profondeur à la tension ;
d = h – cnom – fx.bot – φy.bot / 2 = 432 mm
K = MEd.y.max / (Lx × d2 × fck) = 0,02
K’ = (2h × acc/γC) × (1 – λ × (d – K1)/(2K2)) × (λ × (d – K1)/(2K2))
K’ = 0,207

K’ > K – Aucune armature de compression n’est requise

Bras de levier ;
z = min(0,5 + 0,5 × (1 – 2K / (h × acc/γC))0,5, 0,95) × d = 410 mm

Profondeur de l’axe neutre ;
x = 2,5(d – z) = 54 mm

Zone de renforcement de tension requise ;
Asy.bot.req = MEd.y.max / (fydz) = 883 mm2

Renfort de tension fourni;
12Y12@125 c/c Asy.bot.prov = 1357 mm2

Aire minimale de ferraillage (exp.9.1N);
As.min = max(0.26fctm / fyk, 0.0013) × Lx × d = 864 mm2

Aire maximale d’armature (cl.9.2.1.1(3));
As.max = 0,04 × Lx × d = 25920 mm2

Contrôle des fissures
Limitation de la largeur des fissures ; wmax = 0,3 mm
Facteur de charge variable (EN1990 – Tableau A1.1) ; y2 = 0,3
Moment de flexion de service ; Msls.y.max = 99 kNm
Contrainte de traction dans les armatures ; ss = Msls.y.max / (Asy.bot.prov × z) = 177,8 N/mm2
Facteur de durée de charge ; kt = 0,4

Profondeur effective du béton en traction ;
hc.ef = min(2,5 × (h – d), (h – x) / 3, h/2) = 149 mm

Aire efficace du béton en tension ;
Ac.eff = hc.ef × Lx = 223000 mm2

Valeur moyenne de la résistance à la traction du béton ;
fct.eff = fctm = 2,6 N/mm2

Rapport de renforcement ;
ρp.eff = Asy.bot.prov / Ac.eff = 0,006

Rapport modulaire ; ae = Es / Ecm = 6,672

Coefficient de propriété des obligations ; k1 = 0,8
Coefficient de répartition des déformations ; k2 = 0,5
k3 = 3,4
k4 = 0,425

Espacement maximal des fissures (exp.7.11);
sr.max = k3 × (cnom + fx.bot) + k1k2k4 × φy.bot / ρp.eff = 546 mm

Largeur de fissure maximale (exp.7.8) ;
wk = sr.max × max([ss – kt × (fct.eff / ρp.eff) × (1 + ae × ρp.eff)] / Es, 0,6 × ss / Es) = 0,277 mm

RÉUSSI – La largeur de fissure maximale est inférieure à la largeur de fissure limite

Section rectangulaire en cisaillement (axe y)
Force de cisaillement de conception ; abs(VEd.y.min) = 159,1 kN
CRd,c = 0,18/γC = 0,120
k = min(1 + √(200 mm / j), 2) = 1,680

Rapport de renforcement longitudinal ;
rl = min(Asy.bot.prov / (Lx × d), 0,02) = 0,002
vmin = 0,035k3/2 × fck0,5 = 0,381 N/mm2

Résistance de conception au cisaillement (exp.6.2a & 6.2b);
VRd.c = max(CRd.c × k × (100 × rl × fck)1/3, vmin) × Lx × d
VRd.c = 247 kN

Poinçonnage cisaillement
Facteur de réduction de résistance (exp 6.6N); v = 0,6[1 – fck / 250] = 0,540
Profondeur moyenne au ferraillage ; d = 438 mm
Résistance maximale au poinçonnement (cl.6.4.5(3)); vRd.max = 0,5vfcd = 3,825 N/mm2

k = min(1 + √(200 mm / j), 2) = 1,676

Rapport de renforcement longitudinal (cl.6.4.4(1));
rlx = Asx.bot.prov / (Ly × d) = 0,002
rly = Asy.bot.prov / (Lx × d) = 0,002
rl = min(√(rlx × rly), 0,02) = 0,002
CRd,c = 0,18 / gC =0,120

vmin = 0,035 k3/2 × fck0,5 = 0,380 N/mm2

Résistance de conception au poinçonnement (exp.6.47) ;
vRd.c = max(CRd.c k (100rlfck)1/3, vmin) = 0,380 N/mm2

Conception de la résistance au poinçonnement à 1d (exp. 6,50) ;
vRd.c1 = (2d/d)vRd.c = 0,759 N/mm2

Périmètre de poinçonnement à la face du poteau
Périmètre de poinçonnement ; u0 = 1000mm
Zone à l’intérieur du périmètre de poinçonnement ; A0 = 0,063 m2
Force de cisaillement de poinçonnage maximale ; VEd.max = 1046 kN
facteur de contrainte de poinçonnement (fig 6.21N) ; β = 1.500

Contrainte maximale de poinçonnement (exp 6,38) ;
vEd.max = β VEd.max / (u0 × d) = 3,582 N/mm2

RÉUSSI – La résistance maximale au cisaillement par poinçonnement dépasse la contrainte maximale de cisaillement par poinçonnement

Périmètre de poinçonnement à 1d de la face du poteau
Périmètre de poinçonnement ; u1 = 3752mm
Zone à l’intérieur du périmètre de poinçonnement ; A1 = 1.103 m2
Force de cisaillement de poinçonnement de conception ; VEd.1 = 480,5 kN
facteur de contrainte de poinçonnement (fig 6.21N) ; β = 1.500
Contrainte de cisaillement de conception (exp 6.38); vEd.1 = βVEd.1 / (u1d) = 0,439 N/mm2

Périmètre de cisaillement de poinçonnement à 2d de la face du poteau
Périmètre de poinçonnement ; u2 = 63mm
Zone à l’intérieur du périmètre de poinçonnement ; A2 = 2.250 m2
Force de cisaillement de poinçonnement de conception ; VEd.2 = 0 kN
facteur de contrainte de poinçonnement (fig 6.21N) ; β = 1.500
Contrainte de cisaillement de conception (exp 6.38); vEd.2 = βVEd.2 / (u2 × d) = 0,001 N/mm2

 

 

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